Atelier de astronomie: Determinarea razei Pământului

    Pe data de 22 septembrie 2017, cu ocazia echinocțiului de toamnă, Astroclubul București a organizat un atelier de astronomie la care au participat elevi de clasa a XI a de la Liceul Teoretic “Școala Mea” din capitală. Tema atelierului a fost legată de momentul astronomic al acestei perioade-echinocțiul de toamnă- prilej cu care elevii au reconstituit experimentul prin care astronomul grec Eratostene a calculat dimensiunea Pământului în urmă cu mai bine de 2200 ani.

Odată calculată raza Pământului , am extins tema workshopului, elevii determinând ulterior diametrul Lunii și viteza de rotație a obiectelor aflate la Ecuator. Despre modul de lucru, soluții elegante, ideile revoluționare ale lui Aristarh din Samos dar și despre pățania lui James Bradley puteți citi în rândurile următoare.

Concept:
    Pe 22 septembrie, la echinocțiul de toamnă, razele soarelui cad la amiază perpendicular pe Ecuator. Unghiul făcut de razele solare cu normala locului (gnomon) este de 0° iar astronomii îl numesc declinație 0° (δ= 0°). Pe de altă parte, în București unghiul pe care razele soarelui de amiază îl fac la normala locului are aceeiași valoare cu latitudinea capitalei.

În urmă cu 2200 ani, Eratostene nu avea sisteme de localizare prin GPS pentru a afla latitudinea Alexandriei, dar o putea deduce utilizând elemente fundamentale de trigonometrie. Ca director al marii biblioteci din Alexandria (Egipt), Eratostene avea acces premium la cele mai noi papirusuri și manuscrise, adevărate bestseller-uri pentru comunitatea științifică de atunci. Cu această ocazie, citise că în fiecare an, pe data de 21 iunie la amiază, undeva într-un oraș de pe malul Nilului (Syena- Assuan în zilele noastre), fîntânile sunt iluminate integral de Soare. Curios lucru, în Alexandria, oraș aflat cu 846 km mai la nord, acest lucru nu se întâmpla niciodată și s-a întrebat dacă nu cumva putea să măsoare arcul de cerc dintre cele două orașe (figura 1). Acest arc ar fi diferența de latitudine dintre cele 2 localități.
Dar cum să măsori latitudinea în urmă cu 2200 de ani? Pentru Assuan era simplu, razele Soarelui fiind paralele cu normala locului,
Eratostene a considerat asta ca fiind latitudinea de referință. Pentru latitudinea Alexandriei, soluția a venit de la zei. În centrul orașului era un mare obelisc ridicat în cinstea zeului protector. La amiază, lungimea umbrei obeliscului este o măsură a latitudinii orașului. Raportul dintre lungimea umbrei și înălțimea obeliscului este agal cu tangenta unghiului de latitudine. Făcând diferența dintre cele două latitudini, Eratostene a găsit între cele 2 localități un arc de 7.2°.
Pe de altă parte, arcul de 7.2° dintre Alexandria și Assuan este o parte din arcul de 360° al unui cerc. Mai mult, distanța dintre cele 2 orașe – 846km- este o parte a circumferinței Pământului și anume 2*Pi*R. Singura necunoscută dintre cele 2 rapoarte este R- raza Pământului- pe care Eratostene a găsit-o la ~7000 km, cu ~10% mai mult decât cea reală- 6371 km.
Morala poveștii este că deși rezultatul calculat nu a fost foarte precis după standardele de astăzi, Eratostene ne arată că problemele științifice fundamentale ale timpului său se puteau rezolva cu soluții elegante, tot ce este necesar fiind un băț înfipt în pământ și un creier priceput.

Experimentul:
    În imaginea 2 este redată geometria zilei de 22 septembrie, ora 13:08 când elevii au efectuat observațiile. Deosebirea față de experimentul lui Eratostene este că noi am efectuat măsurătorile pe 22 septembrie în loc de 21 iunie, deoarece în iunie elevii sunt în vacanță iar în septembrie ecuatorul este iluminat perpendicular de către Soare la fel cum erau fîntânile din Assuan iluminate la solstițiul de vară.
Dacă se măsoară umbra unui gnomon de lungime dată când soarele este la meridian și se aplică tangenta în triunghiul BAD, putem afla unghiul de latitudine căutat (φ).
*La valoarea lui ar trebui să mai adăugăm și corecția de declinație a Soarelui (δ) care la momentul desfășurării experimentului (ora 13:08’) avea valoarea de 00°09’31”. Pentru a păstra simplitatea calculelor și a desenului, renunțăm la această mică corecție și considerăm că Soarele la ora observației avea declinație 0°, adică era fix pe Ecuatorul Ceresc.

Modul de lucru:
    – pentru ușurința calculelor am decis să folosim un gnomon de 100 cm.
– luăm din programul Cartes du Ciel efemerida Soarelui pentru 22 septembrie 2017 și găsim că va fi în tranzit la ora 13.08’. La acel moment umbra lăsată de un gnomon va fi cea mai scurtă din zi.
– ne asigurăm că gnomonul are poziție verticală.
– măsurăm umbra gnomonului; repetăm citirea de mai multe ori și apoi calculăm erorile; valoarea găsită de noi este de 97.5 cm.

Etape de calcul:

Pasul 1- măsurăm lungimea umbrei gnomonului:
* pentru precizia măsurătorii efectuăm 6 citiri și apoi facem media lor aritmetică:
BD= 97.5 cm

Pasul 2- calculăm Φ (latitudinea locului):
tgBAD= 97.5/100=0.975
Arctg0.975= 44.274775°
Deci Φ= 44.274775°

 Pasul 3- calculăm distanța București- Ecuator folosind Google Maps:
Distanța București- Ecuator= ~4940Km

 Pasul 4- Calculăm raza Pământului:
4940km……………………….44.274775°
2*Pi*R…………………………360°
R= (4940km*360°)/(2*Pi*44.274775°)

Raza calculată= 6392 km
Valoarea reală: 6371km

Ce mai putem afla știind raza Pământului?
    Putem calcula viteza de rotație a unui punct aflat la Ecuator față de un sistem de referință fix aflat la exteriorul planetei.
Știm că Viteza= distanța/timp; Circumferința Pământului= 2*Pi*Raza_P
    V_Ecuator= 2*Pi*6392 km/24
    V_Ecuator= 1673 km/oră
     *de remarcat că viteza sunetului la 20°C este de 1235 km/oră. Deci un punct aflat la ecuator se mișcă cu o viteză mai mare decât cea a sunetului.
*și atunci de ce oamenii și animalele de la ecuator nu trec printr-un bang sonic? Pentru că ei se mișcă odată cu aerul înconjurător și cu întreaga atmosferă de deasupra.
*În lipsa atmosferei, s-ar simți efectul bangului sonic la ecuator? Nu, pentru că în lipsa atmosferei nu mai există sunet iar bangul nu mai are nici un rost.

Cât de mare este Luna?
    Încă din secolul II î.e.n filozoful grec Aristarh din Insula Samos a observat că în timpul unei eclipse de Lună, distanța parcursă de Lună în conul de umbră al Pământului este egală cu 3.5 diametre lunare. Aristarh a gândit problema așa: dacă umbra Pământului este cât 3.5 diametre lunare înseamnă că Pământul este de 3.5 ori mai mare decât Luna. De aici, putea afla diametrul Lunii:
Diametrul Lunii= Diametrul Pământului/3.5= 12784km/3.5=      3652km
    Diametrul Lunii= 3652 km
    Valoarea reală= 3474 km

Aristarh din Samos și ideile lui revoluționare:
    – este primul învățat care plasează Soarele în centrul Universului cu Pământul rotindu-se în jurul lui. În nici 200 de ani, odată cu Ptolemeu, ideea lui Aristarh va fi rapid uitată și vor mai trece încă 1500 de ani întunecați până când Copernic va avea curajul să propună heliocentrismul. Când îl descoperă, îl va dedica lui Aristarh.
– pune cele 5 planete cunoscute în vremea sa (Mercur, Venus, Marte, Jupiter, Saturn) în ordinea corectă a depărtări lor față de Soare.
– deduce rotația Pământului în jurul propriei axe.
– suspectează ca stelele sunt corpuri asemeni Soarelui doar că se află la distanțe foarte mari față de noi și că ar trebui să le vedem paralaxele. Cum paralaxele stelare nu se pot observa decât prin telescoape mari iar în urmă cu 2000 de ani grecii nu știau că pot exista asemenea instrumente, nu l-a crezut nimeni. În 1729 James Bradely face prima încercare de determinare a paralaxei stelelor dar fără succes. Dezamăgit renunță, dar din întâmplare găsește altceva la fel de important și anume aberația luminii. Astfel Bradely este primul astronom din istorie care dovedește 3 lucruri: că viteza luminii este finită, că Pământul se rotește fără îndoială în jurul Soarelui și că este nevoie de un telescop mai mare pentru a observa paralaxele. Abia în 1838 astronomul german Friedrich Bessel măsoară cu succes prima paralaxă pentru steaua 61 Cygni și găsește o valoare de 360 miliarcsecunde.
*Cât înseamnă 360 miliarcsecunde? Înseamnă unghiul sub care vedem din turnul Promenada Mall marginile unei monezi de 50 bani aflată în pădurea Snagov la 16 km distanță.

Imediat Bessel calculează distanța până la steaua 61 Cygni și găsește o valoare de 10 ani lumină. Distanța uriașă îl face să ezite dar toate calculele sunt corecte. Comunitatea astronomică internațională este uluită de acestă descoperire iar vestea face rapid înconjurul lumii. Nimeni nu se aștepta ca Universul să fie atât de mare!

Pe curând și ieșiti la stele!
Prof. Daniel Berteșteanu